Հիմնական հասկացությունները հավանականությունների տեսության. Օրենքները հավանականության տեսության

Շատ մարդիկ, երբ կանգնում է հասկացության, «հավանականությունների տեսության», վախեցած, մտածելով, որ դա մի բան է, անտանելի է, շատ դժվար է: Բայց դա, ըստ էության, այնքան էլ ողբերգական: Այսօր մենք նայում հիմնական հասկացությունները հավանականության տեսության, սովորում են լուծել խնդիրները կոնկրետ օրինակներով:

գիտություն

Ինչ է ուսումնասիրում մասնաճյուղ մաթեմատիկայի որպես «հավանականությունների տեսության». Այն նշում է, նախշերով պատահական իրադարձությունների եւ փոփոխականների. Որ առաջին անգամ է, որ հարցը մտահոգում է գիտնականների տասնութերորդ դարում, երբ ուսումնասիրել է gambling մասին: Հիմնական հասկացությունները հավանականությունների տեսության - event. Դա որեւէ փաստ, որը հայտարարել է փորձի կամ դիտարկման: Բայց ինչ է փորձը. Մեկ այլ հիմնական կոնցեպցիան Հավանականությունների տեսության. Դա նշանակում է, որ այս մասը հանգամանքների են ոչ թե պատահաբար ստեղծված, եւ մի նպատակով: Ինչ վերաբերում է հսկողության, կա հետազոտող ինքը չի մասնակցելու է փորձի, այլ պարզապես ականատես է այդ իրադարձություններին, դա ոչ մի ազդեցություն, թե ինչ է տեղի ունենում:

միջոցառումներ

Մենք իմացանք, որ հիմնական հայեցակարգը տեսության հավանականությունը միջոցառման, սակայն չի համարում դասակարգում: Բոլորն էլ բաժանվում են հետեւյալ կատեգորիաների `

• Հուսալի.
• Անհնար է:
• Պատահական.

Անկախ նրանից, թե ինչ միջոցառումը, որը հետեւում է կամ ստեղծված ընթացքում փորձարկմամբ, ազդում են սույն դասակարգման. Մենք առաջարկում ենք բոլոր տեսակի հանդիպում է առանձին:

որոշակի իրադարձություն

Սա մի փաստ է, որը պետք է կատարել անհրաժեշտ շարք գործունեության. Որպեսզի ավելի լավ բռնեք էությունը, դա ավելի լավ է տալ մի քանի օրինակներ. Սա ենթարկվում է օրենքին եւ ֆիզիկայի, քիմիայի, տնտեսագիտության, եւ բարձրագույն մաթեմատիկայի. Հավանականությունների տեսության ներառում այնպիսի կարեւոր հայեցակարգը որպես նշանակալից իրադարձության: Ահա մի քանի օրինակներ:

• Մենք աշխատում ենք եւ ստանալ վարձատրություն ձեւով աշխատավարձի:
• Դե անցել քննությունները, անցել է մրցույթ, որ այն ստանալու վարձատրություն ձեւով ընդունելության է ուսումնական հաստատությունում:
• Մենք ներդրել գումար է բանկում, ստանալ նրանց ետ, եթե անհրաժեշտ է.

Նման միջոցառումները համապատասխանում են իրականությանը: Եթե մենք կատարել բոլոր անհրաժեշտ պայմանները, պետք է համոզվեք, որ ստանալու ակնկալվող արդյունքը:

անհնար իրադարձություն

Այժմ մենք համարում այն տարրերը Հավանականությունների տեսության. Մենք առաջարկում ենք գնալ դեպի պարզաբանումների հետեւյալ տեսակների իրադարձությունների մասնավորապես անհնարին: Է սկսել սահմանում է ամենակարեւոր կանոնը այն հավանականությունը, որ անհնարին միջոցառման զրոյական է:

Այս ձեւակերպումը կարող է վերապահումներ խնդիրների լուծման: Ցույց տալու, օրինակներ նման միջոցառումների:

• Ջուրը սառեցվել է ջերմաստիճանի գումարած տաս (դա անհնար է):
• Պակասը էլեկտրաէներգիայի չի ազդի արտադրությունը (ինչպես հնարավոր չէ, քանի որ նախորդ օրինակում):

Ավելի շատ օրինակներ են տրված չէ, անհրաժեշտ է, ինչպես նկարագրված է վերը շատ հստակ արտացոլում է էությունը այս կատեգորիայում. Անհնար միջոցառումը չի լինում Փորձի ընթացքում ցանկացած հանգամանքներում:

պատահական միջոցառումներ

Ուսումնասիրելով տարրեր հավանականության տեսության, հատուկ ուշադրություն պետք է դարձվի տվյալ տեսակի միջոցառման. Սրանք են սովորում, այդ գիտությունը: Որպես արդյունքում փորձի ինչ - որ բան կարող է տեղի ունենալ, թե ոչ: Բացի այդ, փորձարկման անսահմանափակ թվով անգամ կարող է իրականացվել: Արժանահիշատակ են օրինակները ներառում են:

• Toss մետաղադրամ - դա մի փորձ, կամ փորձարկման, կորուստ արծվի, - այս միջոցառումը:
• Քաշվել գնդակը ից տոպրակի կուրորեն - test, բռնվել է կարմիր գնդակը - այս միջոցառումը եւ այլն:

Նման օրինակները կարող են լինել անսահմանափակ թվով, բայց, ընդհանուր առմամբ, պետք է հասկացվեն: Է ամփոփել եւ համակարգել ձեռք բերված գիտելիքները իրադարձությունների մասին մի սեղանի շուրջ: հավանականությունների տեսություն ուսումնասիրությունները միայն վերջինիս kind բոլոր ներկայացվել:

անուն	սահմանումը	օրինակ
հուսալի	Տեղի ունեցած իրադարձություններ բացարձակ երաշխիք, ենթակա է որոշակի պայմանների:	Ընդունելության դպրոց լավ ժամանակ ընդունելության քննության:
անհնարին	Իրադարձություններ, որոնք երբեք տեղի չի ունենա ցանկացած հանգամանքներում.	Ձյուն է գալիս որպես օդի ջերմաստիճանի վերը նշված երեսուն աստիճան Celsius.
պատահական	Միջոցառումը, որը կարող է կամ չի ընթացքում Փորձի / քննության:	Հարվածել կամ կարոտում, երբ նետում է բասկետբոլի ռինգում.

օրենքներ

Հավանականությունների տեսության այն գիտությունն է, որ ուսումնասիրում է հնարավորությունը կորստի որեւէ միջոցառման: Ինչպես մյուսները, այն ունի որոշակի կանոններ: Հետեւյալ օրենքները հավանականությունների տեսության:

• Կոնվերգենցիան հաջորդականությունների պատահական փոփոխականների.
• Օրէնքը մեծ թվով:

Երբ հաշվարկելիս հնարավորությունը համալիրի կարող է օգտագործվել բարդ պարզ միջոցառումներ է հասնել արդյունքների ավելի հեշտ եւ արագ ճանապարհ. Հարկ է նշել, որ օրենքները հավանականությունների տեսության կարող է հեշտությամբ ապացուցել օգնությամբ որոշ թեորեմներ: Մենք առաջարկում ենք սկսել է ծանոթանալ առաջին օրենք:

Կոնվերգենցիան հաջորդականությունների պատահական փոփոխականների

Նկատի ունեցեք, որ կոնվերգենցիայի մի քանի տեսակի:

• Հաջորդականությունը պատահական փոփոխականների կոնվերգենցիայի հավանականությունը:
• Գրեթե անհնար է:
• RMS կոնվերգենցիան:
• Կոնվերգենցիան է բաշխման.

Այնպես որ, վրա ճանճը, դա շատ դժվար է հասկանալ էությունը: Այստեղ են սահմանումները, որոնք կօգնեն հասկանալ թեման: Սկսել է առաջին տեսքը. Հաջորդականությունը կոչվում կոնվերգենցիան է հավանականությունը, եթե հետեւյալը պայմանը: n մոտենում անվերջությունը, համարը ձգտել է հերթականությամբ մեծ է զրոյից, եւ մոտ է միավորի:

Գնալ դեպի հաջորդ կարծիքով, գրեթե անկասկած: Նրանք ասում են, որ հերթականությունը զուգամետ գրեթե անշուշտ պատահական փոփոխականի հետ n tending է անվերջություն, եւ R, tending մի արժեք մոտ է միասնության:

Հաջորդ տեսակը մի կոնվերգենցիան RMS: Երբ օգտագործելով SC-learning կոնվերգենցիայի վեկտորի պատահական գործընթացների նվազեցնում է ուսումնասիրության պատահական համակարգելու գործընթացների:

Վերջինն էր տեսակը, եկեք նայենք համառոտ եւ գնալ ուղղակիորեն խնդիրների լուծման: Կոնվերգենցիան բաշխման ունի մեկ այլ անուն - «թույլ», ապա բացատրել, թե ինչու: Թույլ է մերձեցումը - ն կոնվերգենցիան, որ բաշխիչ գործառույթների բոլոր կետերում շարունակականության սահմանը բաշխման ֆունկցիայի.

Համոզվեք, որ պահել է խոստումը: թույլ է մերձեցումը տարբերվում է բոլոր վերը նշված է, որ պատահական փոփոխական սահմանված չէ վրա հավանականության տարածք. Սա հնարավոր է, քանի որ վիճակը, որը ձեւավորվում է բացառապես օգտագործելով բաշխման գործառույթները:

Օրենքն մեծ թվով

Մեծ օգնականը է ապացուցի, որ օրենքի կլինի թեորեմներ, հավանականությունների տեսության, ինչպիսիք են:

• Chebyshev անհավասարություն:
• Chebyshev թեորեմը:
• Ընդհանրացված Chebyshev թեորեմ:
• Մարկովը թեորեմ:

Եթե մենք մտածում ենք այդ բոլոր թեորեմները, ապա այդ հարցը կարող է տեւել մի քանի տասնյակ թերթերով: Մենք ունենք հիմնական խնդիրն այն է, որ կիրառումը հավանականության տեսության պրակտիկայում. Մենք առաջարկում ենք Ձեզ հենց հիմա, եւ դա անել. Բայց մինչ մենք համարում ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ հավանականության տեսության, նրանք առանցքային գործընկերներն խնդիրները լուծելու:

աքսիոմաներ

Առաջին, մենք արդեն տեսել, երբ խոսում անհնար միջոցառմանը: Եկեք հիշենք, որ հավանականությունը `անհնարին միջոցառման զրոյական է: Օրինակ, մենք տվել է շատ վառ ու հիշվող: ձյունը ընկավ որպես օդի ջերմաստիճանի երեսուն աստիճան Celsius.

Երկրորդը հետեւյալն է. Որոշակի իրադարձություն տեղի է ունենում հավանականությունը միասնության: Այժմ մենք պետք է ցույց տալ, թե ինչպես է դա գրված օգնությամբ մաթեմատիկական լեզվով: P (B) = 1:

Երրորդ Պատահական միջոցառումը կարող է տեղի ունենալ, թե ոչ, բայց հնարավոր է, միշտ էլ տատանվում է զրոյի մեկը. Որքան մոտ է միասնության, ավելի շատ հնարավորություններ. եթե արժեքը մոտ է զրոյին, հավանականությունը շատ ցածր է: Մենք գրել սա մաթեմատիկական լեզվով: 0

Հաշվի առնել, որ վերջին, չորրորդ աքսիոմը, այն է գումարը հավանականության երկու իրադարձությունների հավասար է գումարի իրենց հնարավորություններին: Գրել մաթեմատիկական պայմանները: P (A + B) = P (A) + P (B):

ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ հավանականությունների տեսության - դա մի պարզ կանոն է, որ չի կարող լինել դժվար է հիշել: Եկեք փորձենք է որոշ խնդիրներ լուծել, հիմնվելով արդեն ձեռք բերված գիտելիքների:

վիճակախաղի տոմս

Նախ, համարում է ամենապարզ օրինակը `ակցիայի խաղարկությունը: Պատկերացրեք, որ դուք գնել վիճակախաղի տոմս լավ հաջողություն. Որն է հավանականությունը, որ դուք պետք է հաղթել առնվազն քսան ռուբլի: Ընդհանուր շրջանառությունը ներգրավված է մի հազար տոմսեր, որոնցից մեկը ունի մրցանակը հինգ հարյուր ռուբլի, տասը հարյուր ռուբլի, քսան եւ յիսուն ռուբլի, եւ հարյուր հինգ. Խնդիրն Հավանականությունների տեսության հիման վրա, թե ինչպես պետք է գտնել մի ճանապարհ դեպի հաջողություն. Այժմ մենք միասին վերլուծել որոշումը վերեւում Առաջադրանքներ տեսանկյունից:

Եթե մենք մատնանշում է մրցանակի հինգ հարյուր ռուբլի, ապա հավանականությունը A հավասար է 0.001: Ինչպես ենք մենք ստանում: Պարզապես պետք է մի շարք «երջանիկ» տոմսերի բաժանած ընդհանուր թվի (տվյալ դեպքում `1/1000):

In - օգուտի հարյուր ռուբլի, այն հավանականությունը, հավասար կլինի 0.01. Այժմ մենք գործել նույն կերպ, ինչպես որ վերջին գործողությունը (10/1000)

C - վճարում է քսան ռուբլի: Գտնել հավանականության, դա հավասար է 0.05:

Մնացած տոմսերի Մեզ չեն հետաքրքրում, քանի որ իրենց մրցանակային գումար է ավելի քիչ, քան նշված է վիճակում. Դիմել է չորրորդ աքսիոմը. Հավանականությունը շահելու առնվազն քսան ռուբլի է P (A) + P (B) + P (C): Է նամակում P նշանակում է հավանականությունը ծագման դեպքում, մենք նախորդ քայլերով արդեն գտել է դրանք: Մնում է միայն պառկեցի անհրաժեշտ տվյալները, ապա պատասխանը մենք ստանում ենք 0.061. Այս թիվը կլինի պատասխանը այն հարցին, աշխատատեղեր.

տախտակամած քարտերի

Խնդիրները հավանականության տեսության, կան նաեւ ավելի բարդ է, օրինակ, վերցնել հաջորդ աշխատանքը: Նախքան տախտակամած երեսուն - վեց քարտերով. Ձեր խնդիրն - նկարել երկու քարտեր անընդմեջ, առանց mixing կույտ, առաջին եւ երկրորդ քարտերը պետք է լինի Aces, կոստյումներ չեն առնվում:

Է սկսում, գտնել հավանականությունը, որ առաջին քարտը է ace, այս ջրբաժանը չորս եւ երեսունվեց: Սահմանել այն կողմ. Մենք ստանում երկրորդ քարտը հանդիսանում է ace հետ հավանականության երեք հարիւր եւ երեսուն հինգերորդը: Հավանականությունը, որ երկրորդ միջոցառման կախված, որի վրա քարտը մենք քաշեց առաջինին, մենք շահագրգռված ենք, որ դա եղել է ace, թե ոչ: Այս այն հետեւում է, որ միջոցառմանը կախված է միջոցառման Ա.

Հաջորդ քայլը, որ մենք գտնում հավանականությունը միաժամանակ իրականացման, այսինքն, բազմապատկել Ա եւ Բ Նրանց աշխատանքը հետեւյալն է հավանականությունը մեկ միջոցառման բազմապատկած պայմանական հավանականության մյուսը, մենք հաշվարկել, ենթադրելով, որ առաջին միջոցառումը տեղի է ունեցել, այսինքն, առաջին քարտը մենք քաշեց մի ace.

Որպեսզի դառնալ բոլորի համար պարզ է, տալիս է նշանակում նման տարրը որպես պայմանական հավանականության միջոցառման. Այն հաշվարկվում է, ենթադրելով, որ միջոցառումը A պատահել: Այն հաշվարկվում է հետեւյալ բանաձեւով. P (B / A):

Մենք երկարաձգել մեր խնդրի լուծումը: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) կամ P (A _* B) = P (B) _* P (A / B): Հավանականությունը (4/36) _* ((3/35) / (4/36) հաշվարկվում է հաշվարկի, ինչպես նաեւ մոտակա հարյուրերորդ Մենք ունենք: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0, 82 = 0.09: հավանականությունը, որ մենք իրար երկու հաղթաթղթերը անընդմեջ հավասար է ինը hundredths. արժեքը շատ փոքր է, որ հետեւում է, որ հավանականությունը միջոցառման առաջացման չափազանց ցածր է:

մոռացել են սենյակ

Մենք առաջարկում ենք, որպեսզի դուրս եւս մի քանի տարբերակներ աշխատատեղեր, որ ուսումնասիրում է հավանականությունների տեսությունը. Օրինակներ լուծումների որոշ նորերը դուք տեսել է սույն հոդվածի, փորձում է լուծել հետեւյալ խնդիրը: Տղան մոռացել հեռախոսահամարը համար վերջին թվանշանը իր ընկերոջ, բայց քանի որ զանգը շատ կարեւոր էր, հետո սկսեց վերցնել յուրաքանչյուր իր հերթին: Մենք պետք է հաշվարկել հավանականությունը, որ նա զանգահարել է ոչ ավելի, քան երեք անգամ: ամենապարզ խնդրի լուծումը, եթե դուք գիտեք, որ կանոնները, օրենքները եւ ԱՔՍԻՈՄՆԵՐԸ հավանականության տեսության.

Նախքան տեսնում լուծում, փորձում են լուծել իրենց սեփական. Մենք գիտենք, որ վերջինս գործիչ կարող է զրոյից ինը, համար ընդհանուր տասը արժեքների: Հավանականությունը հաշիվը պահանջվում է 1/10.

Հաջորդ մենք պետք է հաշվի առնել տարբերակներ ծագման իրադարձությունների, եկեք ենթադրենք, որ այդ տղան guessed ճիշտ եւ հաղթել իրավունքը, հավանականությունը նման միջոցառումների հավասար է 1/10. Իսկ երկրորդ տարբերակը, որ առաջին զանգը բլանկ, եւ երկրորդը թիրախ. Մենք հաշվարկել հավանականությունը նման միջոցառումների: 9/10 բազմապատկած 1/9, ի վերջո, մենք ստանում են որպես 1/10. Երրորդ տարբերակն. Առաջին եւ երկրորդ զանգը պարզվել է, որ սխալ հասցե, միայն երրորդ տղան էր, որտեղ նա ուզում էր: Հաշվարկել հավանականությունը նման միջոցառումների: 9/10 բազմապատկած 8/9 եւ 1/8, մենք ձեռք հետեւանքով 1/10. Այլ տարբերակներ վրա, պայմանով, որ խնդրի մենք չենք հետաքրքրում, դա մնում է մեզ համար պառկեցի այդ արդյունքները, ի վերջո, մենք ունենք մի 3/10. Պատասխան. Հավանականությունը, որ մի տղա կանվանեի ոչ ավելի, քան երեք անգամ, հավասար է 0.3.

Քարտեր հետ համարներով

Նախքան ձեզ ինը քարտեր, որոնցից յուրաքանչյուրը գրավոր մի շարք մեկից ինը, որ համարները չեն կրկնվում: Նրանք դրել մի վանդակում, եւ խառնել մանրակրկիտ. Դուք պետք է հաշվարկել է հավանականությունը, որ

• ուղղում նույնիսկ թվով.
• երկու նիշ.

Մինչ որոշմամբ սահմանել, որ m - թիվն հաջողված դեպքերի, եւ n - ընդհանուր թիվն տարբերակներ: Եկեք գտնել հավանականությունը, որ թիվն է, նույնիսկ. Դժվար չէ հաշվարկել, որ նույնիսկ համարները չորս, եւ դա մեր մ, բոլոր ինը հնարավոր տարբերակները, այսինքն, մ = 9: Ապա հավանականությունը հավասար է 0.44 կամ 4/9:

Մենք համարում ենք, իսկ երկրորդ դեպքում, մի շարք տարբերակներից ինը, եւ հաջողակ արդյունքը չի կարող լինել բնավ, այսինքն, մ է զրոյական. Հավանականությունը, որ ձգված քարտը պարունակում է երկնիշ թվով, քանի որ զրոյի: