Անորոշ ինտեգրալ: Հաշվարկի անորոշ ինտեգրալների

Մեկը հիմնական բաժիններից մաթեմատիկական վերլուծության անբաժանելի քար: Այն ընդգրկում է մի շատ լայն դաշտ օբյեկտների, որտեղ առաջին - դա անորոշ ինտեգրալ: Պաշտոն այն կանգնած է որպես առանցքային է, որ դեռ դպրոցում բացահայտում է աճող թվով հեռանկարների ու հնարավորությունների, որը նկարագրում է բարձր մաթեմատիկայի.

հայտնվելը

Առաջին հայացքից թվում է, որ բոլորովին անբաժանելի է ժամանակակից, արդիական է, սակայն գործնականում դա պարզվում է, որ նա վերադարձավ է 1800 շահառու երկիրն է. Գլխավոր էջ է պաշտոնապես համարվում Եգիպտոսը չի հասնում մեզ ավելի վաղ ապացույց գոյության. Այն պայմանավորված է տեղեկատվության պակասի, ամբողջ իսկ դիրքերում, պարզապես, որպես երեւույթի: Նա եւս մեկ անգամ հաստատում է մակարդակը գիտական զարգացման ժողովուրդների այդ ժամանակներում. Ի վերջո, աշխատանքներ են գտնվել է հին հունական մաթեմատիկոսների, ժամադրություն է 4-րդ դարում: Նրանք նկարագրել է օգտագործված մեթոդը, որտեղ անորոշ ինտեգրալ, որի էությունը էր գտնել ծավալը կամ տարածքի մի կորագիծ վիճակում (եռաչափ եւ երկու ծավալային ինքնաթիռի, համապատասխանաբար): հաշվարկը հիմնված էր սկզբունքի բաժնի բնօրինակը գործիչ մեջ infinitesimal բաղադրիչների, պայմանով, որ այդ ծավալը (տարածքը) արդեն հայտնի է նրանց: Ժամանակի ընթացքում, այդ մեթոդը աճել, Արքիմեդես օգտագործել այն է գտնել տարածքը մի պարաբոլա. Նմանատիպ հաշվարկները միեւնույն ժամանակ անցկացնել զորավարժություններ հին Չինաստանում, որտեղ նրանք էին լիովին անկախ է հունական ընկերակից գիտության.

զարգացում

Հաջորդ բեկում է XI դարում դարձել է աշխատանքը արաբական գիտնական "Ունիվերսալ" Աբու Ալի ալ-basri, ով հրում սահմանները արդեն իսկ հայտնի է, բխում էին անբաժանելի բանաձեւով հաշվարկման համար գումարներ է գումարների եւ աստիճանների է առաջինը չորրորդը, կիրառելով այս հայտնի է մեզ զորակոչի մեթոդը:
Միտքը այսօրվա հիացած են հին եգիպտացիները ստեղծված զարմանալի հուշարձանները առանց որեւէ հատուկ գործիքների, բացառությամբ, որ իրենց ձեռքում է, սակայն այն չէ, Էլեկտր խենթ գիտնականները ժամանակ ոչ պակաս հրաշքի: Հետ համեմատած ներկայիս ժամանակներում իրենց կյանքի կարծես գրեթե պարզունակ, բայց որոշումը անորոշ ինտեգրալների Ուրանի ամենուր եւ օգտագործվում է գործնականում հետագա զարգացման համար:

Հաջորդ քայլը տեղի է ունեցել XVI դարում, երբ իտալական մաթեմատիկոս Կավալիերին բերել անբաժանելի մեթոդը, որը վերցրել Per ferma: Սրանք երկու անհատականություն հիմք դրեց ժամանակակից անբաժանելի քար, որը հայտնի է այս պահին. Կապեցին հասկացությունները տարբերակման եւ ինտեգրման, որոնք նախկինում դիտվում է որպես ինքնամփոփ միավորների. Մեծ հաշվով, մաթեմատիկայի այդ ժամանակ էր, մասնատված մասնիկները բացահայտումները գոյություն ունեն ըստ իրենց, Սահմանափակ օգտագործման համար. Ճանապարհն է միավորել եւ ընդհանուր եզրեր գտնել, եղել է միակ ճշմարիտ այն պահին, շնորհիվ նրա, որ ժամանակակից մաթեմատիկական վերլուծություն հնարավորություն են ունեցել աճել եւ զարգանալ:

Հետ ընդունման ժամանակի փոխում է ամեն ինչ ու անբաժանելի խորհրդանիշը, ինչպես նաեւ: Մեծ հաշվով, որ նշանակված է գիտնականներին, ովքեր իր սեփական ճանապարհով, օրինակ, Newton օգտագործվել քառակուսի պատկերակը, որը դրել է integrable գործառույթը, կամ պարզապես դնում միասին. Այս անհավասարության տեւեց, մինչեւ XVII դարի, երբ ուղենիշ է ամբողջ տեսության մաթեմատիկական վերլուծություն գիտնական Gotfrid Leybnits ներդրվել այդպիսի բնույթ ծանոթ է մեզ. Elongated «S» - ը, ըստ էության, հիմնված է այս նամակին Հռոմեական այբուբենի, քանի որ նշանակում է գումարի չափը պրիմիտիվների: Անունը, անբաժանելի ձեռք բերել շնորհիվ Յակոբ Bernoulli, հետո 15 տարվա ընթացքում:

Ֆորմալ սահմանումը

Անորոշ ինտեգրալ կախված է սահմանման, պարզունակ, այնպես որ, մենք այն համարում է առաջին տեղը:

Antiderivative - ն շրջված գործառույթը ածանցյալ, գործնականում այն կոչվում պարզունակ: Հակառակ դեպքում պարզունակ գործառույթը d - ը գործառույթը D, որը հանդիսանում է ածանցյալ է ընդդեմ <=> V '= v. Որոնել պրիմիտիվ է հաշվարկել անորոշ անբաժանելի, իսկ բուն գործընթացը կոչվում է ինտեգրման.

օրինակ.

Որի գործառույթը s (y) = y ^3, իսկ նրա պարզունակ Ս (y) = (y ^4/4):

Սահմանված բոլոր պրիմիտիվների է ֆունկցիա - սա անորոշ ինտեգրալ, մատնանշում է հետեւյալ: ∫v (x) dx:

Ուժով այն հանգամանքին, որ V (x) - միայն մի քանիսն պարզունակ բնօրինակը գործառույթը, արտահայտությունը հետեւյալն է. ∫v (x) dx = V (x) + C, որտեղ C - անընդհատ. Տակ կամայական հաստատունի վերաբերում է որեւէ հաստատուն, քանի որ դրա ածանցյալն է զրոյական.

հատկությունները

Հատկությունների տնօրինության անորոշ ինտեգրալ, ըստ էության հիմնված է սահմանման եւ հատկությունների ածանցյալների.
Հաշվի առնել հիմնական միավոր:

• անբաժանելի ածանցյալ պարզունակ պարզունակ ինքնին գումարած կամայական հաստատուն C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C,
• ածանցյալ անբաժանելի մի ֆունկցիա է, բնօրինակը գործառույթը <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• հաստատուն դուրս է ներքո ինտեգրալ նշան <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) DX, որտեղ k - է կամայական,
• ինտեգրալ, որը վերցված է գումարի այն նույնությամբ հավասար գումարի ինտեգրալների <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy:

Վերջին երկու հատկությունները կարելի է եզրակացնել, որ անորոշ ինտեգրալ գծային. Շնորհիվ այս, մենք ունենք: ∫ (ԿՎ (Y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (Y) dy + l∫w (Y) dy:

Տեսնել, թե օրինակներ ամրագրելով լուծումներ անորոշ integrals:

Դուք պետք է գտնել այն անբաժանելի ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Օրինակից, կարող ենք եզրակացնել, որ դուք չգիտեք, թե ինչպես պետք է լուծել անորոշ integrals. Պարզապես գտնել բոլոր այն պարզունակ! Բայց որոնման համար սկզբունքների քննարկվում է ստորեւ:

Մեթոդներ եւ օրինակներ

Որպեսզի լուծել այն անբաժանելի, դուք կարող եք դիմել հետեւյալ մեթոդներով.

• պատրաստ է օգտվել սեղանի շուրջ.
• ինտեգրվելու մասերով.
• ինտեգրված է փոխարինելու փոփոխական;
• ամփոփելով տակ նշան դիֆերենցիալ:

սեղաններ

Առավել պարզ եւ հաճելի միջոց. Ներկայումս, մաթեմատիկական անալիզ կարող պարծենալ բավականին ծավալուն սեղաններ, որում դուրս հիմնական բանաձեւը անորոշ ինտեգրալների: Այլ կերպ ասած, կան կաղապարներ ստացված մինչեւ ձեզ, եւ դուք կարող եք միայն օգտվել դրանցից: Այստեղ է, որ ցուցակը հիմնական սեղանի դիրքերում, ինչը կարող է ցույց գրեթե յուրաքանչյուր ատյանի, ունի լուծում:

• ∫0dy = C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫dy = y + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, որտեղ C - հաստատուն, եւ n - թիվն տարբերվում միասնության.
• ∫ (1 / y) dy = Ln | y | + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ^{∫e y dy = ե y + C} , որտեղ C - հաստատունը,
• ^{∫k y dy = (k y /} Ln ժա) + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫cosydy = Siny + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫sinydy = -cosy + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫dy / COS ² y = tgy + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫dy / մեղք ² y = -ctgy + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫chydy = ամաչկոտ + C, որտեղ C - հաստատունը,
• ∫shydy = Չայ + C, որտեղ C - անընդհատ.

Եթե անհրաժեշտ է, որպեսզի մի քանի քայլերի հանգեցնել ինտեգրալը է աղյուսակային դիտել եւ վայելել հաղթանակը: Օրինակ `∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) դ (5x - 2) = 1/5 x մեղք (5x - 2) + C.

Որոշման համաձայն, դա պարզ է, որ, օրինակ, մի սեղան ինտեգրալը բացակայում է բազմապատկիչ 5. Մենք ավելացնել այն զուգահեռ այս բազմացնի է 1/5 է ընդհանուր արտահայտվելու չի փոխվի:

Ինտեգրում մասերով

Քննենք երկու գործառույթները - Z (y) եւ X (Y): Նրանք պետք է լինեն շարունակական տարբերվող իր տիրույթում. Մեկ մեկ տարբերակման հատկությունների մենք ունենք: D (xZ) = xdz + ZDX: Ինտեգրվելու երկու կողմերին, մենք ստանում ենք: ∫d (xz) = ∫ (xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz:

Վերգրելով առաջացող հավասարումը, մենք ստանում ենք այն բանաձեւը, որը նկարագրում մեթոդը ինտեգրման մասերի: ∫zdx = zx - ∫xdz:

Ինչու է դա անհրաժեշտ. Այն փաստը, որ որոշ օրինակներ, դա հնարավոր է պարզեցնել, ասենք, նվազեցնել ∫zdx ∫xdz, եթե վերջինս մոտ է աղյուսակային տեսքով: Բացի այդ, այս բանաձեւը կարող է օգտագործվել է ավելի քան մեկ անգամ, օպտիմալ արդյունքները.

Թե ինչպես կարելի է լուծել անորոշ ինտեգրալների այս կերպ:

• Անհրաժեշտ է հաշվարկել ∫ (ներ + 1) E ^2s DS

∫ (x + ^{1), ե 2s ds = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = E 2x} DS} = ((ներ + 1) E ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((ներ + 1) ե ^2s) / 2-ե ^2s / 4 + C;

• պետք է հաշվարկել ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / վ, y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / վ = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Փոխարինելու փոփոխական

Այս սկզբունքը լուծելու անորոշ integrals են ոչ պակաս պահանջարկ, քան նախորդ երկուսի, թեեւ բարդ է. Որ մեթոդը հետեւյալն է. Թող V (x) - անբաժանելի որոշ ֆունկցիայի v (x). Այն դեպքում, որ ինքնին անբաժանելի օրինակ slozhnosochinenny գալիս, ամենայն հավանականությամբ, ստանալ շփոթված ու իջնում սխալ ուղին լուծումներ: Խուսափել այս պրակտիկան փոփոխվի փոփոխական x - Ֆ, որի ընդհանուր արտահայտություն տեսողական պարզեցված միաժամանակ պահպանելով z կախված է x:

Ի մաթեմատիկական առումով, սա, ինչպես հետեւյալն է. ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), որտեղ x = y ( z) - փոխարինում. Եվ, իհարկե, որ հակառակ գործառույթը z = y ^-1 (x) լիովին նկարագրում է հարաբերությունները եւ հարաբերությունների փոփոխականների. Կարեւոր նշում, որ դիֆերենցիալ dx անպայմանորեն փոխարինվել է նոր դիֆերենցիալ dz, քանի որ փոփոխության փոփոխական են անորոշ անբաժանելի ներառում փոխարինելով այն ամենուր, ոչ միայն ինտեգրալը:

օրինակ.

• պետք է գտնել ∫ (ներ + 1) / (եր ² + 2s - 5) DS

Դիմել է փոխարինող z = (s + 1) / (եր ² + 2s-5): Ապա dz = 2sds = 2 + 2 (ներ + 1) ds <=> (ներ + 1) ds = dz / 2: Որպես հետեւանք, հետեւյալ արտահայտությունը, որը շատ հեշտ է հաշվարկել:

∫ (ներ + 1) / (եր ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | S ² + 2s-5 | + C;

• Դուք պետք է գտնել անբաժանելի ∫2 ^ի ե ^ի dx

Է լուծել վերագրանցվեցին է հետեւյալ ձեւով:

^{∫2 s e s DS = ∫, (} 2E) s DS.

Մենք մատնանշում է = 2E (փոխարինում է փաստարկի այս քայլը չէ, դա դեռ s), մենք տալիս ենք մեր թվացյալ բարդ անբաժանելի հիմնական աղյուսակի ձեւով:

^{∫ (2E) ներ ds = ∫a} s DS = ը S / LNA + C = (2e) ներ / Ln (2e) + C = 2 ^S ե ^ի / Ln (2 + lne) + c = 2 ^S ե ^ս / (ln2 + 1) + C.

Ամփոփելով դիֆերենցիալ նշան

Է, եւ մեծ հաշվով, այս մեթոդը անորոշ ինտեգրալների - երկվորյակ եղբայրը սկզբունքի փոփոխության փոփոխականի, սակայն կան տարբերություններ գործընթացում գրանցման: Եկեք քննենք, ավելի մանրամասն.

Եթե ∫v (x) dx = V (x) + C եւ y = z (x), ապա ∫v (y) dy = V (y) + C.

Միեւնույն ժամանակ, մենք չպետք է մոռանանք, որ չնչին ինտեգրալ վերափոխումները, որոնց թվում:

• dx = D (x + ա), եւ որի - ական հաստատունը,
• dx = (1 / ա) դ (կացին + բ), որտեղ մի մշտական կրկին, բայց ոչ զրոյի.
• xdx = 1 / 2D (x ² + բ)
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = դ (sinx):

Եթե հաշվի առնենք, որ ընդհանուր գործ, որտեղ մենք հաշվարկել անորոշ ինտեգրալ, օրինակները կարելի է subsumed տակ ընդհանուր բանաձեւով w '(x) dx = DW (x):

օրինակներ:

• պետք է գտնել ∫ (2s + 3) ² ds, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + ^{3), 2} դ (2s + 3) = (1/2) x ((2s + ^{3), 2)} / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

առցանց օգնություն

Որոշ դեպքերում, մեղքն է, որը կարող է դառնալ կամ ծուլություն, կամ հրատապ անհրաժեշտություն, դուք կարող եք օգտագործել առցանց հուշում, կամ, ավելի շուտ, որպեսզի օգտագործել հաշվիչ անորոշ integrals: Չնայած ակնհայտ բարդության եւ հակասական բնույթի ինտեգրալների, որ որոշումը ենթակա է իրենց հատուկ ալգորիթմի, որը հիմնված է սկզբունքի », եթե դուք չեք ... ապա ...»:

Իհարկե, հատկապես բարդ օրինակներ, նման հաշվիչ չի տիրապետել, քանի որ կան դեպքեր, երբ որոշում է գտնել մի արհեստականորեն «ստիպել» ներմուծելով որոշ տարրեր այդ գործընթացում, քանի որ արդյունքները ակնհայտ են եղանակներ հասնելու: Չնայած հակասական բնույթի այս հայտարարության, դա ճիշտ է, քանի որ մաթեմատիկան, սկզբունքորեն, վերացական գիտության, եւ նրա հիմնական նպատակը համարում է, որ անհրաժեշտ է հզորացնել սահմանները. Իրոք, մի հարթ վազում-ի տեսությունների, շատ դժվար է տեղափոխել եւ մինչեւ զարգանալ, այնպես որ չեմ ենթադրել, որ այն օրինակները, լուծելու անորոշ integrals, որը տվել է մեզ, որ սա բարձրությունը հնարավորությունների. Բայց վերադառնանք տեխնիկական կողմում բաների. Գոնե ստուգել այն հաշվարկները, որ դուք կարող եք օգտվել ծառայությունից, որով գրված էր մեզ համար: Եթե կա անհրաժեշտություն ավտոմատ հաշվարկման բարդ արտահայտություններ, ապա նրանք չեն պետք է դիմել ավելի լուրջ ծրագրային. Պետք է ուշադրություն դարձնել հիմնականում շրջակա միջավայրի վրա Matlab:

դիմում

Ի որոշումը անորոշ ինտեգրալների առաջին հայացքից թվում է, ամբողջովին կտրված է իրականությունից, քանի որ դժվար է տեսնել, ակնհայտ օգտագործումը հարթությունում. Իրոք, ուղղակիորեն օգտագործել դրանք ամենուր դուք չեք կարող, բայց նրանք անհրաժեշտ միջանկյալ տարր է դուրս բերման գործընթացը լուծումների օգտագործվող գործնականում: Այսպիսով, ինտեգրումը հետեւի տարբերակման, այսպիսով ակտիվորեն մասնակցում է գործընթացին լուծման հավասարումների.
Իր հերթին, այդ հավասարումների ունեն ուղղակի ազդեցություն որոշման վրա մեխանիկական խնդիրների, հետագիծ հաշվարկման եւ ջերմային ջերմահաղորդություն - կարճ ասած, ամեն ինչ, որ հանդիսանում է ներկան ու ապագայի կերտմանը: Անորոշ ինտեգրալ, որոնցից մենք համարվել վերը, միայն չնչին առաջին հայացքից, որպես հիմք է իրականացնել ավելի ու ավելի նոր բացահայտումներ: