Ֆուրիեի շարքը: պատմությունը եւ ազդեցությունը մաթեմատիկական մեխանիզմի զարգացման համար գիտության

Ֆուրիեի շարքեր - այս տեսակետը կամայականորեն ընտրվել գործառույթները ժամանակաշրջանի անընդմեջ: Ընդհանուր առմամբ, այս լուծումը կոչվում ընդլայնումը տարրը վրա օրթոգոնալ հիմունքներով: Ընդլայնումը գործառույթների Fourier շարք բավականին հզոր գործիք է լուծելու համար տարբեր խնդիրների պատճառով հատկությունների վերափոխման ինտեգրման, տարբերակման, ինչպես նաեւ փոփոխություն է փաստարկ արտահայտվելու եւ փաթաթում:

Անձը, որը ծանոթ չէ բարձրագույն մաթեմատիկայի, ինչպես նաեւ այն աշխատանքներին ֆրանսիացի գիտնական Fourier, ամենայն հավանականությամբ, չի հասկանում, թե ինչ է "շարքերը», եւ ինչ են անում. Սակայն այս տրանսֆորմացիան բավականին ամուր մտել մեր կյանքը: Այն օգտագործվում է ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլեւ ֆիզիկոսներ, քիմիկոսներ, բժիշկներ, աստղագետների, սեյսմոլոգների, օվկիանոսագիտությունում եւ մյուսներին: Եկեք նաեւ ավելի սերտ տեսք աշխատանքներին մեծ ֆրանսիացի գիտնականի, ով հայտնաբերել, առաջ անցնելով իր ժամանակի:

Մարդը եւ Fourier փոխակերպում

Ֆուրիեի շարքը մեկն է մեթոդների (հետ միասին վերլուծության եւ այլն) մասին Fourier փոխակերպում: Այս գործընթացը տեղի է ունենում ամեն անգամ մի անձնավորություն լսում ցանկացած ձայնը: Մեր ականջը ինքնաբերաբար նորադարձների ձայնային ալիքը: Oscillatory շարժումը տարրական մասնիկների առաձգական միջավայրում ընդլայնվել շարքի (սպեկտրի) հաջորդական ծավալը արժեքների տոննա տարբեր բարձունքների: Հաջորդ, որ ուղեղը նորադարձների այս տվյալները մեջ ծանոթ հնչյունների մեզ. Այս ամենը ի լրումն մեր ցանկության կամ գիտակցության մեջ, բայց որպեսզի հասկանանք, այն գործընթացները, որոնք տեղի են մի քանի տարի է ուսումնասիրել բարձրագույն մաթեմատիկա:

Կարդալ ավելին մասին, որ Fourier փոխակերպում

The Fourier փոխակերպում կարող է իրականացվել վերլուծական, numerals եւ այլ մեթոդներ: Ֆուրյե շարքը թվական գործընթացը կազմալուծվում որեւէ oscillatory գործընթացները `սկսած մակընթացությունների ու ալիքների լույսի արեւային ցիկլեր (եւ այլ աստղային օբյեկտներում) գործունեության. Օգտագործելով այդ մաթեմատիկական տեխնիկան, դա հնարավոր է disassemble գործառույթը, որը ներկայացնում է որեւէ oscillatory գործընթացների մի շարք Sinusoidal բաղադրիչներից է, որ գնում է նվազագույնը առավելագույնը եւ հակառակը: The Fourier փոխակերպում է մի գործառույթ նկարագրելով փուլ եւ լիություն sinusoids համապատասխան որոշակի հաճախականությամբ: Այս գործընթացը կարող է օգտագործվել լուծելու համար շատ բարդ հավասարումների որոնք նկարագրում են դինամիկ գործընթացները տեղի ունեցող տակ գործողության ջերմության, լույսի, կամ էլեկտրական էներգիայի: Բացի այդ, Ֆուրիեի շարքը, որն օգտագործվում է տարբերակել DC բաղադրիչները բարդ waveforms, դարձնելով այն հնարավոր է ճիշտ մեկնաբանել փորձարարական դիտարկումներ բժշկության, քիմիայի եւ աստղագիտության:

պատմական տեղեկություններ

Հիմնադիր հայրը այս տեսության է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Բատիստ Zhozef Fure: Նրա անունը ավելի ուշ, եւ դա վերափոխումը կանչվել է: Ի սկզբանե, որ գիտնականներն օգտագործել է տեխնիկան է ուսումնասիրել եւ բացատրել, մեխանիզմները ջերմային ջերմահաղորդություն - Heat տարածումը չոր. Ֆուրիեի առաջարկել է, որ նախնական անկանոն բաշխումը ջերմային ալիքի կարող է decomposed մեջ պարզ sinusoid, որոնցից յուրաքանչյուրը կունենա իր ջերմաստիճանի նվազագույն եւ առավելագույն, ինչպես նաեւ իր փուլ: Այսպիսով, յուրաքանչյուր նման բաղադրիչ է չափվի նվազագույնը մինչեւ առավելագույն եւ հակառակը: Մաթեմատիկական ֆունկցիան, որը նկարագրում է վերին եւ ստորին գագաթները կորի, ինչպես նաեւ փուլը յուրաքանչյուր Բարեկազմ, որը կոչվում է Fourier փոխակերպում է ջերմաստիճանի բաշխման արտահայտվելու. Հեղինակ տեսության նվազեցված ընդհանուր բաշխման ֆունկցիայի, որ դժվար է մաթեմատիկական նկարագրություն, մի շատ հեշտ է կարգավորել մի շարք պարբերական գործառույթների վերաբերյալ sine եւ կոսինուսն, չափով տալու նախնական բաշխումը:

Սկզբունքը դարձի եւ տեսակետները ժամանակակիցների

Ժամանակակիցն է գիտնական - առաջատար մաթեմատիկոսներ վաղ տասնիններորդ դարի չի ընդունել այս տեսությունը: Հիմնական առարկությունը էր հաստատումը Fourier որ ընդհատվող ֆունկցիան նկարագրում է ուղիղ գիծ կամ կորի պատռված է, այն կարող է ներկայացվել որպես գումարի Sinusoidal արտահայտություններ, որոնք շարունակական: Որպես օրինակ, համարում է «քայլ» Heaviside: դրա արժեքը զրո է դեպի ձախ է բացը, եւ մեկ աջ կողմում: Այս ֆունկցիան նկարագրում կախվածությունը էլեկտրական հոսանքի վրա ժամանակի փոփոխականին համար փակման շղթայի. Ժամանակակից տեսությունը այդ ժամանակ էր, երբեք չեմ հանդիպել նման մի իրավիճակ, երբ ընդհատվող արտահայտությունը պետք է նկարագրված է մի համադրություն շարունակական, ընդհանուր գործառույթներ, ինչպիսիք են էքսպոնենտալ, սինուս, գծային կամ quadratic:

Ինչ նեղություն է ֆրանսիական մաթեմատիկոսներ են տեսության Fourier.

Ի վերջո, եթե մաթեմատիկոս ճիշտ էր վիճել, ապա, ամփոփող անսահման Եռանկյունաչափական ֆուրյեի շարք, դա հնարավոր է ձեռք բերել ճշգրիտ ներկայացուցչություն քայլի արտահայտվելու, նույնիսկ, եթե այն ունի մի շարք նմանատիպ քայլերի. Վաղ տասնիններորդ դարում, այս հայտարարությունը թվում էր անհեթեթ: Սակայն, չնայած բոլոր կասկածներին, շատ մաթեմատիկոսներ են ընդլայնել շրջանակը ուսումնասիրության այս երեւույթի, տեղափոխելով այն դուրս ջերմային հետազոտությունների անցկացման: Սակայն, մեծ մասը գիտնականներ շարունակում է տառապում այն հարցին, «Կարող է գումարը սինուս Wave շարքի զուգամետ է ճշգրիտ արժեքը ընդհատվող ֆունկցիայի».

Կոնվերգենցիան Ֆուրիեի շարքի օրինակը

Հարցը կոնվերգենցիայի բարձրանում ամեն անգամ, երբ դուք պետք summation է անսահման շարք թվերի: համարում է դասական օրինակ է հասկանալու այս երեւույթի. Կարող եք երբեւէ հասնել պատը, եթե յուրաքանչյուր քայլը կեսը նախորդ. Ենթադրենք, դուք երկու մետր հեռավորության նպատակին, առաջին քայլ ավելի մոտ է շուրջ կես ճանապարհին, իսկ հաջորդ նշան է երեք եռամսյակների, եւ հետո հինգերորդ, դուք պետք է հաղթահարել գրեթե 97 տոկոսը ճանապարհին. Սակայն, անկախ նրանից, թե որքան շատ քայլեր եք արել ոչ, ապա նպատակին դուք հասնում է խիստ մաթեմատիկական իմաստով: Օգտագործելով թվային հաշվարկներ, մենք կարող ենք ապացուցել, որ ի վերջո, կարող է լինել ավելի մոտ է կամայականորեն փոքր տվյալ հեռավորության վրա: Սա համարժեք է մի ապացույց ցուցադրելով, որ ընդհանուր արժեքը մեկ կիսամյակի, մեկ քառորդը, եւ այլն: E. Արդյոք հակված են միասնության:

Հարցը կոնվերգենցիայի Երկրորդ Գալուստը, կամ գործիք լորդ Kelvin

Բազմիցս հարց է առաջացել է վերջին տասնիններորդ դարում, երբ Ֆուրիեի շարքը փորձել են օգտագործել կանխատեսել ինտենսիվությունը ebbs եւ հոսքերի. Այդ ժամանակ, Տէր Kelvin հորինել սարքը անալոգային համակարգչային, որը թույլ է տվել նավաստիները մուգ կապույտ եւ վաճառական ծովային մոնիտորի բնական երեւույթ է: Այս մեխանիզմը սահմանված փաթեթը փուլերի եւ amplitudes է սեղանի բարձրությունը մակընթացությունների եւ համապատասխան ժամանակահատվածում պահերին, ուշադիր չափվում է նավահանգիստ ամբողջ տարվա ընթացքում: Յուրաքանչյուր պարամետր է մի Sinusoidal բաղադրիչն արտահայտությունը ալիքը բարձունքները եւ մեկն էր կանոնավոր բաղադրիչների. Չափման արդյունքները կարող են ներդրումը հաշվողական սարքի Տէր Kelvin, համադրելու կորի, որ կանխատեսվող բարձրությունը ջրի, որպես ֆունկցիա է հաջորդ տարվա. Շատ շուտով, այդ կորեր կազմվել համար բոլոր նավահանգիստ է աշխարհում:

Եւ եթե այդ գործընթացը կարող է կոտրվել ընդհատվող գործառույթը.

Այդ ժամանակ, որ թվում էր, ակնհայտ է, որ այդ սարքը կանխատեսում մակընթացային ալիքը, ինչպես նաեւ բազմաթիվ տարրերի հաշվին կարող հաշվարկել է մեծ թվով փուլերի եւ amplitudes, եւ այլն, ապահովել ավելի ճշգրիտ կանխատեսումը: Այնուամենայնիվ, պարզվեց, որ այս օրինակը չի նկատվում այն դեպքերում, երբ մակընթացային արտահայտությունը, որը պետք է սինթեզվում, ընդգրկում է մի սուր jump, այսինքն, կան ընդհատվող. Այն դեպքում, որ ապարատը տվյալներ մուտքագրել մի սեղանի շուրջ անգամ նը, այն հաշվում քանի Fourier գործակիցները: Recovering բուն գործառույթը պայմանավորված է սինուսոիդային բաղադրիչի (համաձայն հայտնաբերված գործակիցների): Անհամապատասխանությունը բնօրինակը եւ վերակառուցված արտահայտվելու կարելի է չափել ցանկացած կետում: Երբ կրկնում հաշվարկները եւ համեմատությունները կարելի է տեսնել, որ արժեքը մեծագույն սխալի չի կրճատվել: Սակայն, նրանք տեղայնացվել տարածաշրջանում համապատասխան կետի պատռել, եւ ցանկացած այլ կետն հակված է զրոյի: 1899 թ., Այս արդյունքն հաստատեց տեսականորեն Joshua Willard Գիբսը Յեյլի համալսարանում.

Կոնվերգենցիան Ֆուրիեի շարքի եւ զարգացումը մաթեմատիկայի, որպես մի ամբողջ

Ֆուրյեի անալիզ չի կիրառվում այն արտահայտություններ պարունակող մի անսահման թվով bursts է որոշակի ընդմիջումից. Ընդհանուր առմամբ, Ֆուրիեի շարքի, եթե բնօրինակը ֆունկցիան ներկայացված է արդյունքում փաստացի ֆիզիկական չափումների, միշտ զուգամիտել. Հարցեր, կոնվերգենցիայի այս գործընթացի համար հատուկ դասերի գործառույթների հանգեցրել է նոր ճյուղերի մաթեմատիկայի, ինչպիսիք են տեսության ընդհանրացված ֆունկցիաների. Այն կապված է անուններ, ինչպիսիք են Schwartz, J .. Mikusiński եւ J. Temple. Սույն տեսության, հստակ եւ ճշգրիտ տեսական հիմքեր նման արտահայտության ստեղծվել է որպես Դիրակի դելտա գործառույթը (այն նկարագրում է տարածաշրջանը միասնական տարածքի, կենտրոնացված է անվերջ հարեւանությամբ կետի) եւ «քայլ» Heaviside: Այս աշխատանքի միջոցով Ֆուրիեի շարքեր դարձել կիրառելի լուծման համար հավասարումների եւ խնդիրները, որոնք ներառում ինտուիտիվ հասկացությունները: Բանն այն լիցքավորման, կետ զանգվածային, մագնիսական dipoles, իսկ կենտրոնացված բեռը փնջի:

Ֆուրիեի մեթոդը

Ֆուրիեի շարքը, համաձայն սկզբունքների միջամտության, սկսում է տարրալուծման բարդ ձեւերի մեջ պարզ. Օրինակ, մի փոփոխություն ջերմային հոսքի շնորհիվ իր հատվածի միջոցով տարբեր խոչընդոտների է ջերմության Մեկուսիչ նյութը անկանոն վիճակում կամ փոփոխվող գետնին մակերեւույթ `երկրաշարժի հետեւանքով, մի փոփոխության ուղեծիր սելեստիալ մարմնի ազդեցության մոլորակները. Որպես կանոն, այդ հավասարումների նկարագրող պարզ դասական համակարգ դաշտը պարունակում է լուծվի յուրաքանչյուր անհատի ալիքի. Ֆուրիեի ցույց է տվել, որ պարզ լուծումներ կարելի է ամփոփել են որպես համար ավելի բարդ առաջադրանքներ. Լեզվով մաթեմատիկայի, Ֆուրիեի շարքը մի մեթոդաբանություն ներկայացման արտահայտվելու գումարի ներդաշնակ - կոսինուսն եւ սինուս ալիքների: Հետեւաբար, այս վերլուծությունը, որը նաեւ հայտնի անվան տակ «Հարմոնիկ անալիզ»:

Ֆուրիեի շարքեր - իդեալական մեթոդ է, որ «համակարգչային տարիքի»

Նախքան ստեղծման համակարգչային տեխնոլոգիաների Fourier մեթոդի լավագույն զենք զինանոցում գիտնականների հետ աշխատող Wave բնույթը մեր աշխարհում. Ֆուրիեի շարքը բարդ ձեւով Ձեզ թույլ է տալիս ոչ միայն լուծել պարզ խնդիրներ, որոնք պատասխանատու են ուղղել կիրառումը Նյուտոնի օրենքների մեխանիկայի, այլեւ հիմնարար հավասարումների. Մեծ մասը հայտնագործություններից նյուտոնյան գիտության տասնիններորդ դարում դարձել հնարավոր է միայն պայմանավորված է Fourier մեթոդով:

Ֆուրիեի շարքեր այսօր

Զարգացման հետ Fourier փոխակերպում համակարգիչներ բարձրացել է մի նոր մակարդակի. Այս տեխնիկան ամուր արմատավորված է գրեթե բոլոր ոլորտներում գիտության եւ տեխնոլոգիայի. Որպես օրինակ, թվային աուդիո եւ վիդեո. Դրա իրականացումը հնարավոր է դարձել միայն շնորհիվ տեսության կողմից մշակված ֆրանսիացի մաթեմատիկոս վաղ տասնիններորդ դարում. Այսպիսով, Ֆուրիեի շարքը բարդ ձեւով թույլ է տվել, որպեսզի բեկում մտցնել ուսումնասիրության արտաքին տարածության. Բացի այդ, այն ազդել է ուսումնասիրությունը ֆիզիկայի կիսահաղորդչային նյութերի եւ պլազմա, Միկրոալիքային ակուստիկա, oceanography, ռադարային, սեյսմոլոգիայի:

Trigonometric Ֆուրիեի շարքեր

Մաթեմատիկայի, մի Ֆուրիեի շարքը մի միջոց է, որը ներկայացնում է կամայական բարդ գործում է որպես գումարի պարզ. Ընդհանուր առմամբ դեպքերում, մի շարք արտահայտություններ կարող է անվերջ: Մեծ թվով հաշվել է հաշվարկման, այնքան ավելի ճշգրիտ վերջնական արդյունքը ձեռք բերել: Առավել տարածված օգտագործումը պարզ Եռանկյունաչափական կոսինուսն կամ sine գործառույթը: Այս դեպքում, Ֆուրիեի շարքը կոչվում Trigonometric, եւ այդ որոշումը նման արտահայտություններ - Բարեկազմ տարրալուծման. Այս մեթոդը կարեւոր դեր է խաղում մաթեմատիկայի. Առաջին հերթին, Trigonometric շարքը ապահովում է միջոցներ համար պատկերով, ինչպես նաեւ ուսումնասիրությունը գործառույթների, դա հիմնական միավորն է տեսության: Բացի այդ, այն թույլ է տալիս մեզ է լուծել մի շարք խնդիրների մաթեմատիկական ֆիզիկայի. Ի վերջո, այս տեսությունը նպաստեց մաթեմատիկական վերլուծության, այն ծնեց մի շարք շատ կարեւոր ճյուղերի մաթեմատիկական գիտության (տեսության ինտեգրալների տեսությունը պարբերական գործառույթների). Բացի այդ, մեկնարկային կետ զարգացման համար հետեւյալ տեսությունների Կոմպլեկտներ, գործառույթները իրական փոփոխականի, ֆունկցիոնալ վերլուծություն, ինչպես նաեւ հիմք դրեց Հարմոնիկ անալիզ: