Իրական թվեր եւ դրանց հատկությունները

Պյութագորասը պնդում են, որ թիվն է, աշխարհի հիմնադրութենէն վրա անդա կարեւորագույն տարրերից. Պլատոնի հավատում է, որ մի շարք հղումների այդ երեւույթի եւ noumenon, որն օգնում է իմանալ, թե, պետք է կշռադատված ու հետեւություններ անել: Թվաբանություն գալիս է բառի «arifmos» - ի համարը, ելակետ մաթեմատիկայի. Դա հնարավոր է նկարագրել որեւէ օբյեկտը - ից տարրական խնձորի վերացական բացատների:

Կարիքների որպես զարգացման գործոն

Նախնական փուլերում զարգացման հասարակության մարդկանց կարիքները կաշկանդված է պետք է պահել հաշիվը, .. Մեկը տոպրակ հացահատիկի, երկու հացահատիկի տոպրակ, եւ այլն Որպեսզի դա անել, այն էր, բնական թվեր, որ փաթեթը, որը անսահման հաջորդականություն դրական ամբողջ թվերի Ն

Ավելի ուշ, զարգացումը մաթեմատիկայի որպես գիտության, անհրաժեշտ էր կոնկրետ ոլորտում integers Z - այն ներառում է բացասական արժեքները եւ զրո. Նրա տեսքը ներպետական մակարդակով, ապա դա հրահրվել է այն փաստը, որ նախնական հաշվապահական ստիպված է եղել որ կերպ շտկել պարտքերը ու կորուստները: Է գիտական մակարդակով, բացասական թվեր են արել, որ հնարավոր է լուծել պարզ գծային հավասարումների. Ի թիվս այլ բաների, դա հիմա հնարավոր է պատկերի չնչին կոորդինատային համակարգին, այսինքն. Ա. Կար մի կետ հղում.

Հաջորդ քայլը, որ պետք է մտնել կոտորակային թվեր, քանի որ գիտությունը չի դիմանում դեռեւս, ավելի ու ավելի նոր հայտնագործությունները պահանջել է տեսական հիմք է նոր հրում աճի: Այնպես որ, կար մի դաշտ ռացիոնալ թվերի Հ

Վերջապես, այլեւս բավարարել պահանջները բանականություն, քանի որ բոլոր նոր բացահայտումներ հիմնավորումը պահանջելու: Կային մի դաշտ իրական թվերի R, աշխատանքները EUCLID ի incommensurability որոշակի քանակությամբ, քանի որ իրենց անտրամաբանություն: Այսինքն, հին հունական մաթեմատիկոս դիրքերում է ոչ միայն թվով որպես հաստատուն, բայց որպես վերացական արժեք, որը բնութագրվում է հարաբերակցությամբ անհամադրելի մագնիտուդով երկրաշարժ: Պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ կան իրական թվեր, «մենք տեսանք, թեթեւ» արժեքները, ինչպիսիք են «Պի» եւ «ե», առանց որի ժամանակակից մաթեմատիկայի չէր կարող տեղի.

Վերջնական նորամուծություն էր մի համալիր շարք C. Այն պատասխանեց մի շարք հարցերի եւ հերքել նախկինում մտել դրույթներն: Պայմանավորված է արագ զարգացման հանրահաշվի արդյունքի էր կանխատեսելի իրական թվերի, որ որոշումը բազմաթիվ խնդիրների հնարավոր չէր: Օրինակ, շնորհիվ բարդ համարներ առանձնացել լարային տեսությունը եւ քաոսի ընդլայնվել հավասարումներով hydrodynamics:

Սահմանել տեսությունը. Cantor

Հայեցակարգը, անվերջություն միշտ էլ առաջացրել հակասություններ, քանի որ անհնար էր ապացուցելու կամ հերքելու. Համատեքստում մաթեմատիկայի, որը շահագործվում խիստ հավաստի կանխադրույթները, դա դրսեւորվեց առավել ակնհայտ է, որ ավելի շատ է, որ աստվածաբանական ասպեկտ դեռ կշռադատված գիտությամբ:

Սակայն, շնորհիվ աշխատանքի մաթեմատիկոս Գեորգ Քենթորը բոլոր ժամանակների ընկավ իր տեղը: Նա ապացուցել է, որ անսահման խմբերից կա անսահման հավաքածու, եւ որ դաշտը R ավելի մեծ է, քան դաշտային N, թող երկուսն էլ, եւ չունեն վերջ: Ի կեսին XIX դարում, նրա գաղափարները հրապարակավ անվանել անհեթեթություն է եւ հանցագործություն է մարդկության դեմ դասական անփոփոխելի canons, բայց ժամանակը ցույց կտա ամեն ինչ դրեց իր տեղը.

Հիմնական հատկությունները դաշտային R

Փաստացի համարները չեն միայն ունեն նույն հատկությունները, ինչպես նաեւ podmozhestva, որ նրանք ներառում են, բայց հավելվում են այլ masshabnosti ուժով նրա տարրերի:

• Զրոյական Ռ. Գոյություն ունի, եւ պատկանում է դաշտային գ + = C 0 ցանկացած գ Ռ
• Զրոյական գոյություն ունի, եւ պատկանում է դաշտային Ռ գ x 0 = 0 ցանկացած գ Ռ
• The հարաբերակցությունը գ. Դ երբ դ ≠ 0 գոյություն ունի, եւ ուժի մեջ է ցանկացած C, D Ռ
• Դաշտը R հրամայել, այսինքն եթե գ ≤ դ դ ≤ գ, ապա գ = D ցանկացած C, D Ռ
• Լրացում է դաշտային R է փոխարինող, այսինքն գ + d = d + C, ցանկացած C, D Ռ
• Բազմապատկում է դաշտային R է փոխարինող, այսինքն x գ x D = D գ բոլոր c, d, R.
• Լրացում է դաշտային R պահին ասոցիատիվ այսինքն, (գ + դ) + զ = C + (d + զ) ցանկացած գ, դ, զ Ռ
• Բազմապատկում է դաշտային R պահին ասոցիատիվ այսինքն, (գ x դ) x զ = գ x (դ x զ) ցանկացած C, D, F Ռ
• Յուրաքանչյուր թվի դաշտը R հակառակ այն կա, ինչպիսիք են, որ C + (-c) = 0, որտեղ գ, -c Ռ
• Յուրաքանչյուրի համար դաշտային R գոյություն ունի իր հակառակ, այնպիսին է, որ գ x գ ^-1 = 1, որտեղ գ, գ ^-1 Ռ
• Միավորը գոյություն ունի եւ պատկանում է R, որ գ x 1 = գ, ցանկացած գ Ռ
• Այն ունի իշխանությունը օրենքի իմաստով տարածում է, այնպես որ այդ գ x (d + զ) = C x Խ + C x f, ցանկացած C, D, զ Ռ
• The R դաշտը զրո հավասար չէ միասնության:
• Դաշտը R է անցողական: Եթե C ≤ d, դ ≤ զ, ապա գ ≤ զ ցանկացած C, D, զ Ռ
• Է R եւ լրացումներ որպեսզի փոխկապակցված են. Եթե գ ≤ դ, ապա գ + F ≤ d + F բոլորի համար C, D, զ Ռ
• Ի հրամանով R եւ բազմապատկման կապվեցին, եթե 0 ≤ C, 0 ≤ d, ապա 0 ≤ գ x դ ցանկացած C, D Ռ
• Որպես բացասական եւ դրական իրական թվեր են շարունակական, այսինքն, ցանկացած գ, դ Ռ f, գոյություն ունի ից R, որ C ≤ զ ≤ դ.

Մոդուլ դաշտը R

Այն իրական թվերը ներառում են այնպիսի մի բան, որպես մոդուլի. Նշանակված է այն, քանի որ | F | ցանկացած f Ռ | F | = F, եթե 0 ≤ f եւ | f | = -f, եթե 0> զ. Եթե հաշվի առնենք, որ մոդուլը որպես երկրաչափական արժեքի, դա հեռավորությունը - դա ոչ մի նշանակություն չունի », - անցել» ձեզ զրո բացասական է դրական կամ հարձակվողի:

Բարդ եւ իրական թվեր: Որոնք են նմանություններ եւ տարբերություններ:

Է, եւ մեծ, բարդ եւ իրական թվերի - նրանք մեկ եւ նույնն է, բացառությամբ, որ առաջին անգամ է երեւակայական միավոր ես, հրապարակը, որը հավասար է (-1): Տարրեր դաշտերը R եւ C- ն կարող է ներկայացված է հետեւյալ բանաձեւով `

• գ = d + զ x i, ջրով կը հեղեղեմ երկիրը դ, զ պատկանում է դաշտային R, իսկ ես, - երեւակայական միավորի.

Ստանալ գ R f այս դեպքում պարզապես ենթադրաբար զրո, այսինքն, կա միայն իրական մասն թվի: Քանի որ դաշտը բարդ թվերի ունի նույն հնարավորությունը սահմանված է որպես դաշտում իրական, F x i = 0, եթե F = 0:

Հարգանքով գործնական տարբերությունների, օրինակ, դաշտը R quadratic հավասարման չի կարող լուծվել, եթե discriminant բացասական է, իսկ C արկղ չի պարտադրում է այս սահմանափակումը, ներդնելով երեւակայական միավորը i.

արդյունքները

«Կուբիկ» է axioms եւ դրույթներն, որի վրա պետք է բազային մաթեմատիկայի, չեն փոխել: Վրա նրանցից ոմանք ավելացման պատճառով տեղեկատվության եւ ներդրման նոր տեսությունների տեղադրված է հետեւյալ «Աղյուսներ", որը հետագայում կարող են հիմք է հաջորդ քայլը: Օրինակ, բնական թվերը, չնայած այն հանգամանքին, որ նրանք մի ենթաբազմություն իրական դաշտային R, չի կորցնում իր արդիականությունը: Դա նրանց հիմքը բոլոր տարրական թվաբանություն, որը սկսվում է գիտելիքների մի մարդու խաղաղության:

Գործնական տեսանկյունից, ապա իրական թվերը նման մի ուղիղ գիծ. Դա հնարավոր է ընտրել ուղղությունը, բացահայտել ծագումն ու սկիպիդար. Ուղղակի բաղկացած անսահման թվով նը, որոնցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է մեկ իսկական շարք, անկախ այն հանգամանքից, թե ռացիոնալ: Նկարագրությունը, այն է, պարզ է, որ մենք խոսում հայեցակարգի, որը հիմնված է մաթեմատիկայի ընդհանուր առմամբ, եւ մաթեմատիկական վերլուծության մասնավորապես.